# Zusammenfassung Analysis 1: Unterschied zwischen den Versionen

ToDo:

Prüfen auf Korrektheit, Formatierung, eventuell weitere wichtige Themen einbauen

Alle momentan zu editierenden Einträge werden hier gesammelt.

## Komplexe Zahlen

### Rechenregeln

${\displaystyle z=x+iy}$
${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {iy}{x^{2}+y^{2}}}}$
${\displaystyle \displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {(x_{1}+iy_{1})\cdot (x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})\cdot (x_{2}-iy_{2})}}}$

## Limites

### Bernoulli de l'Hôpital

Falls ${\displaystyle \lim {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ von der Form "${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$" oder "${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$" ist, dann ist
${\displaystyle \lim {\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim {\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$.
Tricks
Funktion Limes Umformung
${\displaystyle u(x)v(x)}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ oder ${\displaystyle \infty \cdot 0}$ ${\displaystyle \displaystyle {\frac {u(x)^{-1}}{v(x)}}}$ bzw. ${\displaystyle \displaystyle {\frac {v(x)^{-1}}{u(x)}}}$
${\displaystyle u(x)-v(x)}$ ${\displaystyle \infty -\infty }$ ${\displaystyle \displaystyle {\frac {v(x)^{-1}-u(x)^{-1}}{(u(x)\cdot v(x))^{-1}}}}$
${\displaystyle u(x)^{v(x)}}$ ${\displaystyle \infty ^{\infty }}$ oder ${\displaystyle 1^{\infty }}$ ${\displaystyle \displaystyle e^{v(x)\cdot \ln u(x)}}$

### Rechenregeln

${\displaystyle \lim(f(x)^{n})=(\lim f(x))^{n}}$
${\displaystyle \lim(\log(f(x)))=\log(\lim f(x))}$
${\displaystyle \lim {\sqrt[{n}]{f(x)}}={\sqrt[{n}]{\lim f(x)}}}$
${\displaystyle \lim a^{f(x)}=a^{\lim f(x)}}$

### Bekannte Limites

Limes Gegen Wert
${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {a^{x}-1}{x}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \ln a}$
${\displaystyle {\frac {\ln x}{x-1}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {\ln(1+x)}{x}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\ln a}}}$
${\displaystyle x^{m}e^{-ax}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$ falls ${\displaystyle a>0}$
${\displaystyle x^{m}e^{-{\frac {a}{x}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$, substituiere ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$
${\displaystyle x^{a}\ln x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ falls ${\displaystyle a>0}$
${\displaystyle x^{-a}\ln x}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$ falls ${\displaystyle a>0}$
${\displaystyle (1+{\frac {x}{n}})^{n}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle e^{x}}$
${\displaystyle {\frac {e^{n}-1}{n}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

## Reihen

### Bekannte Reihen

Name Reihe Wert
geometrische Partialsumme ${\displaystyle \displaystyle \sum _{i=0}^{n}q^{i}}$ ${\displaystyle {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$
geometrische Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a\cdot q^{k}}$ ${\displaystyle a\cdot {\frac {1}{1-q}}}$ falls ${\displaystyle |q|<1}$, divergent sonst
harmonische Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$ divergent
alternierende Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}a_{k}}$ konvergiert falls ${\displaystyle a_{k}}$ monoton fallend gegen ${\displaystyle 0}$
alternierende harmon. Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1^{k-1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\ldots }$ ${\displaystyle \log 2}$
binomische Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}\cdot z^{k}}$ ${\displaystyle (1+z)^{\alpha }}$, ${\displaystyle \rho =\infty }$ f\"ur ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \rho =1}$ sonst
Exponentialreihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}$ ${\displaystyle e^{z}}$
Potenzreihen ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k\cdot z^{k}}$ ${\displaystyle {\frac {z}{(1-z)^{2}}}}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{2}z^{k}}$ ${\displaystyle {\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a^{k}z^{k}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-az}}}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}}$ ${\displaystyle \log {\frac {1}{1-z}}}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{c+k-1 \choose k}a^{k}z^{k}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{(1-az)^{c}}}}$
trigonometrische Reihen ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots }$ ${\displaystyle \sin(x)}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots }$ ${\displaystyle \cos(x)}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\ldots }$ ${\displaystyle \sinh(x)}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\ldots }$ ${\displaystyle \cosh(x)}$

${\displaystyle \rho =\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k}}{a_{k+1}}}\right|}$
Für ${\displaystyle z<\rho }$ konvergiert die Reihe, für ${\displaystyle z>\rho }$ divergiert sie.
Den Fall ${\displaystyle z=\rho }$ müssen wir manuell untersuchen.

### Potenzreihe selbst berechnen

Zurückführen auf bekannte Potenzreihen.
Beispiel:
${\displaystyle f(x)=\displaystyle {\frac {2}{1-x+x^{2}-x^{3}}}}$
Partialbruchzerlegung ergibt:
${\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}+{\frac {1+x}{1+x^{2}}}}$
geometrische Reihe:
${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}}$
${\displaystyle \displaystyle {\frac {1+x}{1+x^{2}}}=(1+x)\sum _{k=0}^{\infty }(-x^{2})^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(x^{2k}+x^{2k+1})}$
${\displaystyle \displaystyle \Rightarrow f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(1+(-1)^{k})(x^{2k}+x^{2k+1})=2\sum _{k=0}^{\infty }x^{4k}+x^{4k+1}}$
Konvergenzradius ist (wie geometrische Reihe) ${\displaystyle 1}$.

### Konvergenzkriterien

Immer: Betrachte Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$
${\displaystyle L<1\Rightarrow }$ Konvergenz, ${\displaystyle L>1\Rightarrow }$ Divergenz
Quotientenkriterium
${\displaystyle L=\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|}$
Wurzelkriterium
${\displaystyle L=\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left|{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}\right|}$
Majorantenkriterium
Falls ab einem ${\displaystyle k}$ alle ${\displaystyle |a_{k}|\leq |b_{k}|}$ dann konvergiert mit der Reihe über ${\displaystyle b_{k}}$ auch die über ${\displaystyle a_{k}}$.
Integralkriterium
Sei ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ und monoton fallend. (bzw. ${\displaystyle f(x)\leq 0}$ und monoton steigend). ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=p}^{\infty }f(n)}$ konvergiert genau dann wenn ${\displaystyle \displaystyle \int _{p}^{\infty }\!f(x)\,dx}$ existiert.
Cauchy
Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn ${\displaystyle \displaystyle \lim _{n,l\to \infty }\left|\sum _{k=l}^{n}a_{k}\right|\to 0}$

## Integrale und Ableitungen

### Ableitung der Umkehrfunktion

${\displaystyle f'^{-1}(f(x))={\frac {1}{f'(x)}}}$ oder
${\displaystyle f'^{-1}(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}}$

### Mittelwertsatz

Zwischen zwei Punkten mit gleichem ${\displaystyle f(x)}$ gibt es mindestens einen Punkt mit ${\displaystyle f'(x)=0}$, falls ${\displaystyle f}$ stetig und differenzierbar ist.

### Newton-Iteration

Konvergiert gegen eine Nullstelle.
${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$

### Taylorreihen

Approximieren eine Funktion in der Nähe von ${\displaystyle x_{0}}$ durch ein Polynom.
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2}}\cdot (x-x_{0})^{2}+\ldots }$
Fehlerabschätzung ${\displaystyle \sup \xi }$ ${\displaystyle {\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}}$

### Bogenlänge

Falls ${\displaystyle y=f(x)}$ in ${\displaystyle [a,b]}$:
${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx}$
Falls ${\displaystyle x=x(t)}$, ${\displaystyle y=y(t)}$ in ${\displaystyle [a,b]}$
${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}dt}$

## Existierende Zusammenfassungen

Siehe auch
Zusammenfassung Analysis 2
Übungsverzeichnis Analysis
Von Florian Bütler (FS18)
Zusammenfassung für die Prüfung
Von Lukas Friedlos (2018)
PDF, Zusammenfassung für die Prüfung
Von Nino Scherrer, Jakub Kotal, Laurin Brandner (2016)
LaTeX, Cheat Sheets Analysis I&II
Von Linus Metzler (2014)
PDF, Analysis I, PDF, Cheat Sheet, Analysis I & II
Von Frédéric Vogel (2013, teils basierend auf ZF von Stefan Heule)
GitHub Repo mit LaTex & PDF
Von Sandro Felicioni (Aug. 2013, basiert auf ZF von L. Büttiker, wobei etliche Kapitel komplett überarbeitet wurden)
GitHub Repo mit Latex & PDF (siehe: main.pdf)
Von Daniel Valério Sampaio (2013)
PDF
Von Leo Büttiker (Feb. 2013, basiert auf ZF von G. Wegberg, L. Büttiker, B. Steger, P. Küng 2012)
GitHub Repo mit LaTex & PDF
Von Karl Wüst (2012)
PDF / LaTeX
Von Gregor Wegberg, Leo Büttiker, Benjamin Steger, Philipp Küng (2012)
PDF / LaTeX
Von Pascal Spörri, Josua Schmid und anderen (2009) (Erweiterung der Zusammenfassung von Thorben und anderen)
Von Stefan Heule (und Raphael Fuchs, Andrea Helfenstein und Steven Köppel) (2009)
PDF-Zusammenfassung und Latex-Quelltext
Von Thorben Bochenek, Jeremie Miserez, Licia Huber und Anderen (2008)