# Zusammenfassung Analysis 1: Unterschied zwischen den Versionen

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Alle momentan zu editierenden Einträge werden hier gesammelt.

## Komplexe Zahlen

### Rechenregeln

${\displaystyle z=x+iy}$
${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {iy}{x^{2}+y^{2}}}}$
${\displaystyle \displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {(x_{1}+iy_{1})\cdot (x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})\cdot (x_{2}-iy_{2})}}}$

## Limites

### Bernoulli de l'Hôpital

Falls ${\displaystyle \lim {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ von der Form "${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$" oder "${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$" ist, dann ist
${\displaystyle \lim {\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim {\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$.
Tricks
Funktion Limes Umformung
${\displaystyle u(x)v(x)}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ oder ${\displaystyle \infty \cdot 0}$ ${\displaystyle \displaystyle {\frac {u(x)^{-1}}{v(x)}}}$ bzw. ${\displaystyle \displaystyle {\frac {v(x)^{-1}}{u(x)}}}$
${\displaystyle u(x)-v(x)}$ ${\displaystyle \infty -\infty }$ ${\displaystyle \displaystyle {\frac {v(x)^{-1}-u(x)^{-1}}{(u(x)\cdot v(x))^{-1}}}}$
${\displaystyle u(x)^{v(x)}}$ ${\displaystyle \infty ^{\infty }}$ oder ${\displaystyle 1^{\infty }}$ ${\displaystyle \displaystyle e^{v(x)\cdot \ln u(x)}}$

### Rechenregeln

${\displaystyle \lim(f(x)^{n})=(\lim f(x))^{n}}$
${\displaystyle \lim(\log(f(x)))=\log(\lim f(x))}$
${\displaystyle \lim {\sqrt[{n}]{f(x)}}={\sqrt[{n}]{\lim f(x)}}}$
${\displaystyle \lim a^{f(x)}=a^{\lim f(x)}}$

### Bekannte Limites

Limes Gegen Wert
${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {a^{x}-1}{x}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \ln a}$
${\displaystyle {\frac {\ln x}{x-1}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {\ln(1+x)}{x}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\ln a}}}$
${\displaystyle x^{m}e^{-ax}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$ falls ${\displaystyle a>0}$
${\displaystyle x^{m}e^{-{\frac {a}{x}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$, substituiere ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$
${\displaystyle x^{a}\ln x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ falls ${\displaystyle a>0}$
${\displaystyle x^{-a}\ln x}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$ falls ${\displaystyle a>0}$
${\displaystyle (1+{\frac {x}{n}})^{n}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle e^{x}}$
${\displaystyle {\frac {e^{n}-1}{n}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

## Reihen

### Bekannte Reihen

Name Reihe Wert
geometrische Partialsumme ${\displaystyle \displaystyle \sum _{i=0}^{n}q^{i}}$ ${\displaystyle {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$
geometrische Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a\cdot q^{k}}$ ${\displaystyle a\cdot {\frac {1}{1-q}}}$ falls ${\displaystyle |q|<1}$, divergent sonst
harmonische Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$ divergent
alternierende Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}a_{k}}$ konvergiert falls ${\displaystyle a_{k}}$ monoton fallend gegen ${\displaystyle 0}$
alternierende harmon. Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1^{k-1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\ldots }$ ${\displaystyle \log 2}$
binomische Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}\cdot z^{k}}$ ${\displaystyle (1+z)^{\alpha }}$, ${\displaystyle \rho =\infty }$ f\"ur ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \rho =1}$ sonst
Exponentialreihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}$ ${\displaystyle e^{z}}$
Potenzreihen ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k\cdot z^{k}}$ ${\displaystyle {\frac {z}{(1-z)^{2}}}}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{2}z^{k}}$ ${\displaystyle {\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a^{k}z^{k}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-az}}}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}}$ ${\displaystyle \log {\frac {1}{1-z}}}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{c+k-1 \choose k}a^{k}z^{k}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{(1-az)^{c}}}}$
trigonometrische Reihen ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots }$ ${\displaystyle \sin(x)}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots }$ ${\displaystyle \cos(x)}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\ldots }$ ${\displaystyle \sinh(x)}$
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\ldots }$ ${\displaystyle \cosh(x)}$

### Konvergenzradius einer Potenzreihe

${\displaystyle \rho =\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k}}{a_{k+1}}}\right|}$
Für ${\displaystyle z<\rho }$ konvergiert die Reihe, für ${\displaystyle z>\rho }$ divergiert sie.
Den Fall ${\displaystyle z=\rho }$ müssen wir manuell untersuchen.

### Potenzreihe selbst berechnen

Zurückführen auf bekannte Potenzreihen.
Beispiel:
${\displaystyle f(x)=\displaystyle {\frac {2}{1-x+x^{2}-x^{3}}}}$
Partialbruchzerlegung ergibt:
${\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}+{\frac {1+x}{1+x^{2}}}}$
geometrische Reihe:
${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}}$
${\displaystyle \displaystyle {\frac {1+x}{1+x^{2}}}=(1+x)\sum _{k=0}^{\infty }(-x^{2})^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(x^{2k}+x^{2k+1})}$
${\displaystyle \displaystyle \Rightarrow f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(1+(-1)^{k})(x^{2k}+x^{2k+1})=2\sum _{k=0}^{\infty }x^{4k}+x^{4k+1}}$
Konvergenzradius ist (wie geometrische Reihe) ${\displaystyle 1}$.

### Konvergenzkriterien

Immer: Betrachte Reihe ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$
${\displaystyle L<1\Rightarrow }$ Konvergenz, ${\displaystyle L>1\Rightarrow }$ Divergenz
Quotientenkriterium
${\displaystyle L=\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|}$
Wurzelkriterium
${\displaystyle L=\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left|{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}\right|}$
Majorantenkriterium
Falls ab einem ${\displaystyle k}$ alle ${\displaystyle |a_{k}|\leq |b_{k}|}$ dann konvergiert mit der Reihe über ${\displaystyle b_{k}}$ auch die über ${\displaystyle a_{k}}$.
Integralkriterium
Sei ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ und monoton fallend. (bzw. ${\displaystyle f(x)\leq 0}$ und monoton steigend). ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=p}^{\infty }f(n)}$ konvergiert genau dann wenn ${\displaystyle \displaystyle \int _{p}^{\infty }\!f(x)\,dx}$ existiert.
Cauchy
Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn ${\displaystyle \displaystyle \lim _{n,l\to \infty }\left|\sum _{k=l}^{n}a_{k}\right|\to 0}$

## Integrale und Ableitungen

### Ableitung der Umkehrfunktion

${\displaystyle f'^{-1}(f(x))={\frac {1}{f'(x)}}}$ oder
${\displaystyle f'^{-1}(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}}$

### Mittelwertsatz

Zwischen zwei Punkten mit gleichem ${\displaystyle f(x)}$ gibt es mindestens einen Punkt mit ${\displaystyle f'(x)=0}$, falls ${\displaystyle f}$ stetig und differenzierbar ist.

### Newton-Iteration

Konvergiert gegen eine Nullstelle.
${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$

### Taylorreihen

Approximieren eine Funktion in der Nähe von ${\displaystyle x_{0}}$ durch ein Polynom.
${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2}}\cdot (x-x_{0})^{2}+\ldots }$
Fehlerabschätzung ${\displaystyle \sup \xi }$ ${\displaystyle {\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}}$

### Bogenlänge

Falls ${\displaystyle y=f(x)}$ in ${\displaystyle [a,b]}$:
${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx}$
Falls ${\displaystyle x=x(t)}$, ${\displaystyle y=y(t)}$ in ${\displaystyle [a,b]}$
${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}dt}$

## Existierende Zusammenfassungen

Siehe auch
Zusammenfassung Analysis 2
Übungsverzeichnis Analysis
Von Florian Bütler (FS18)
, Zusammenfassung für die Prüfung
Von Lukas Friedlos (2018)
PDF, Zusammenfassung für die Prüfung
Von Nino Scherrer, Jakub Kotal, Laurin Brandner (2016)
LaTeX, Cheat Sheets Analysis I&II
Von Linus Metzler (2014)
PDF, Analysis I, PDF, Cheat Sheet, Analysis I & II
Von Frédéric Vogel (2013, teils basierend auf ZF von Stefan Heule)
GitHub Repo mit LaTex & PDF
Von Sandro Felicioni (Aug. 2013, basiert auf ZF von L. Büttiker, wobei etliche Kapitel komplett überarbeitet wurden)
GitHub Repo mit Latex & PDF (siehe: main.pdf)
Von Daniel Valério Sampaio (2013)
PDF
Von Leo Büttiker (Feb. 2013, basiert auf ZF von G. Wegberg, L. Büttiker, B. Steger, P. Küng 2012)
GitHub Repo mit LaTex & PDF
Von Karl Wüst (2012)
PDF / LaTeX
Von Gregor Wegberg, Leo Büttiker, Benjamin Steger, Philipp Küng (2012)
PDF / LaTeX
Von Pascal Spörri, Josua Schmid und anderen (2009) (Erweiterung der Zusammenfassung von Thorben und anderen)
Von Stefan Heule (und Raphael Fuchs, Andrea Helfenstein und Steven Köppel) (2009)
PDF-Zusammenfassung und Latex-Quelltext
Von Thorben Bochenek, Jeremie Miserez, Licia Huber und Anderen (2008)