Zusammenfassung Analysis 2

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Prüfen auf Korrektheit, Formatierung, eventuell weitere wichtige Themen einbauen

Alle momentan zu editierenden Einträge werden hier gesammelt.

Koordinaten

Polar

Kugel

,

Zylinder

Ellipsoid

Für :
,

Differentialgleichungen

Linear, homogen

  1. charakteristisches Polynom aufstellen:
  2. Nullstellen finden
    1. reelle, einfache Nullstellen: Nullstelle
      Lösung
    2. reelle, k-fache Nullstellen: Nullstelle
      Lösung ( Summanden)
    3. komplexe Nullstellen: Nullstellen
      Lösung
  3. Lösungen addieren
  4. eventuell Anfangswertproblem einsetzen

Linear, inhomogen

  1. Allgemeine homogene Lösung finden
  2. Spezielle inhomogene Lösung finden: Ansatz (mit Ableitungen) in Differentialgleichung einsetzen und Koeffizientenvergleich machen
  3. homogene und inhomogene Lösung addieren
  4. eventuell Anfangswertproblem einsetzen

Ansätze

Inhomogenität Falls... Ansatz
Polynom Grad 0 keine NS von
0 -fache NS von
, keine NS von
-fache NS von
keine NS von
-fache NS von
keine NS von
-fache NS
(Poly. Grad m) keine NS von
-fache NS von
(Poly. Grad m) keine NS von
(Poly. Grad m)
-fache NS von
, benutze Definition siehe

Separierbar

Homogen
Allgemeine Lösung:
Partikuläre Lösung: Anfangswertproblem um :
Formen wie werden dabei zu .
Inhomogen
Löse zuerst homogen, dann Variation der Konstanten

Variation der Konstanten

Sei die Lösung der homogenen DGL 1. Ordnung und die Inhomogenität . Setze und setze dann in die DGL ein. Vorsicht: Produktregel mit !
Beispiel:
Homogene Lsg. (Separation): (Produktregel!)
Einsetzen in DGL:
inhomogene Lsg.

Differentialrechnung

Gradient

Zeigt in Richtung der max. Steigung, ist diese max. Steigung

Richtungsableitung

Steigung in Richtung : Projektion von auf

Tangentialebene

im Punkt :

in 2D:

Kettenregel

Jacobi-Matrix

regulärer Punkt
hat vollen Rang

Hesse-Matrix

mehrdimensional analog

Finden globaler Extrema

  1. Innen
    1. löse , finde dabei z.B. Punkt
    2. Überprüfe ob wirklich im Bereich liegt
    3. Berechne die Eigenwerte von . Falls:
      alle positiv: lokales Minimum
      alle negativ: lokales Maximum
      alle positiv oder negativ: Sattelpunkt
      sonst: Entartet
      In 2D gilt:
      lokales Minimum
      lokales Maximum
      Sattelpunkt
      Entartet
  2. Rand
    Sei die Gleichung des Randes.
    1. finde nichtreguläre Punkte: bzw. bei mehreren Nebenbedingungen: hat nicht vollen Rang
    2. Löse für reguläre Punkte
      gibt dabei eine weitere Gleichung für das Gleichungssystem
  3. Ecken
  4. Vergleiche die Funktionswerte aller gefundenen Punkte!

Taylorreihen

2D
3D

Satz über implizite Funktionen

Seien Vektoren, eine stetig diff'bare Abbildung und .
Falls die Jacobi-Matrix in invertierbar ist, so existieren offene Umgebungen von und und eine eindeutige, stetig diff'bare Abbildung mit .
Ausserdem gilt: .
Beispiel:
Gegeben: ,
Gesucht: Näherung für für
Lösung: Satz über implizite Funktionen ist anwendbar
Also gilt
Und damit ist etwa .

Satz der lokalen Umkehrbarkeit

verallgemeinert den Satz über implizite Funktionen in den .
Ist die Jacobi-Matrix im Punkt invertierbar, so gibt es eine Umgebung um in der eine Umkehrfunktion existiert. Ausserdem gilt:
( ist hier die inverse Matrix)

Integralrechnung

Wegintegral

bzw. falls Vektorfeld

Satz von Green/Stokes

Sei ein Vektorfeld. Dann ist
es existiert ein Potential
kranke h4x mit Stokes/Fluss
Sei zum Beispiel gegeben:
Ellipsoidausschnitt: und
Gesucht: Fluss durch Oberfläche
Lösung:
  1. Einsetzen: Bedingung für einsetzen um den Rand zu finden,
  2. Rand parametrisieren, ableiten:
  3. Wegintegral berechnen:

Koordinatensubstitution

Sei die Transformation in eine andere Basis. Dann kann man das Integral in der neuen Basis ausdrücken als .

Oberfläche

Sei ein Körper und die Oberfläche, parametrisiert durch . Dann gilt:
Konkret:
Fläche im
Fläche im

Fluss

wobei ein Einheitsnormalenvektor auf dem Flächenelement ist.
Bei der Kugel gilt:
Beim Ellipsoiden:

Satz von Gauss

Das Volumenintegral über die Divergenz ist das Flussintegral über den Rand des Gebietes.

Existierende Zusammenfassungen

Siehe auch
Zusammenfassung Analysis 1
Übungsverzeichnis Analysis
Von Patrick Eigensatz, Max Mathys (2018, Kowalski)
PDF/LaTeX
Von Jérémy Scheurer (2016)
Intuition about Vector Calculus / LaTex (Jérémy Scheurer, 2016, Note last 3 chapters missing)
PDF / LaTex (Jérémy Scheurer, 2016, based on Sandro Felicionis Summary. Lots of added topics especially in Vector Calculus. ATTENTION I am not 100% sure what the state of my last commit was, it might be that there are small mistakes)
Von Nino Scherrer, Jakub Kotal, Laurin Brandner (2016)
LaTeX, Cheat Sheets Analysis I&II
Von Franz Knobel (knobelf, 2016)
PDF, Analysis I & II Formelsammlung
Von Linus Metzler (2014)
PDF, Analysis II, PDF, Cheat Sheet, Analysis I & II
Von Frédéric Vogel (2013, teils basierend auf ZF von Stefan Heule)
GitHub Repo mit LaTex & PDF
Von Sandro Felicioni (Aug. 2013, basiert auf ZF von L. Büttiker, wobei etliche Kapitel komplett überarbeitet wurden)
GitHub Repo mit Latex & PDF (siehe: main.pdf)
Von Daniel Valério Sampaio (2013)
PDF (handgeschrieben)
Von Leo Büttiker (Feb. 2013, basiert auf ZF von G. Wegberg, L. Büttiker, B. Steger, P. Küng 2012)
GitHub Repo mit LaTex & PDF
Von Karl Wüst (2012)
PDF / LaTeX
Von Gregor Wegberg, Leo Büttiker, Benjamin Steger, Philipp Küng (2012)
PDF / LaTeX
Von Pascal Spörri, Josua Schmid und anderen (2009) (Erweiterung der Zusammenfassung von Thorben und anderen)
PDF (nethz-Login)
TEX (nethz-Login)
Von Stefan Heule (und Raphael Fuchs, Andrea Helfenstein und Steven Köppel) (2009)
PDF-Zusammenfassung und Latex-Quelltext
Von Fabian Hahn, Dino Wernli und Stefan Götschi (2008)
PDF
Von Thorben Bochenek, Jeremie Miserez, Licia Huber und Anderen (2008)
[1] (nethz-Login)


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